Álgebra conmutativa y aplicaciones

Participante	Título	Resumen
1. Almeida, Marcela UBA malmeida@dm.uba.ar	Un algoritmo paralelizable que computa bases de intersecciones completas	Consideramos una sucesión regular de n-r polinomios en n variables y el anillo de coordenadas de la variedad que generan. La idea es encontrar una base de ese anillo sobre el anillo de polinomios en las primeras r variables (asumiendo que las variables están en posición de Noether). Para esto hacemos uso de una sucesión regular auxiliar formada por las ecuaciones de dependencia entera y relacionamos, mediante el Teorema de Wiebe para polinomios, una base de este anillo que es fácil de computar con una base del anillo buscado. El método a exponer no involucra herramientas de teoría de dualidad con la que se ha abordado en varias oportunidades este problema.
2. Bermejo, Isabel U. de La Laguna, España ibermejo@ull.es	On Equisingularity in Codimension 1 and Characteristic p > 0	We study the equisingularity of a family of plane algebroid curves parametrized by a smooth variety in characteristic p>0. As Zariski did in the characteristic zero case, we consider this family as an algebroid hypersurface V together with a regular subvariety W of codimension 1 and give a condition for V to be equisingular at its origin along W. The definition is given in terms of equiresolution and coincides with Zariski's definition in characteristic zero. This work will appear in the 'Proceedings of the Conference on Algebra and Algebraic Geometry with Applications: The celebration of the seventieth birthday of Prof. S.S. Abhyankar', Springer-Verlag (2001).
3. D'Andrea, Carlos UBA cdandrea@dm.uba.ar	Computing Resultants ``a la Macaulay''	Cayley (1848) and Macaulay (1902) gave ingenious formulas for computing the resultant of homogeneous polynomials as a quotient of two determinants. In this talk, we will revisit such constructions and explore possible extensions to the sparse case.
4. Giménez, Philippe U. de Valladolid, España pgimenez@agt.uva.es< /p>	Computing and bounding the Castelnuovo-Mumford regularity of some projective monomial varieties.	Let I be a homogeneous ideal in the polynomial ring in (n+1) variables over a field K. The Castelnuovo-Mumford regularity of I is a numerical invariant of I which provides bounds for the degrees of all syzygies and is, in some sense, a mesure of its complexity. Its knowledge helps constructing a minimal graded free resolution of I and its computation should be easier than the determination of the syzygies -as observed in our previous joint work with Isabel Bermejo (University of La Laguna, Spain) in the case of an ideal defining a projective curve. In this work, we shall focus on the case of an ideal I defining a monomial projective variety. We shall present a combinatorial method recently developped to construct a minimal generating set and a minimal graded free resolution of I. We will show that using this method, the computation of the Castelnuovo-Mumford regularity of I is even easier than the determination of the maximal degree of an element in a minimal generating set of I. In the case of a monomial projective curve, this will apply to provide a combinatorial proof, in this case, of the known bound of Gruson-Lazarsfeld-Peskine for the regularity.
5. Jerónimo, Gabriela UBA jerónimo@dm.uba.ar	Cálculo de formas de Chow de variedades algebraicas	Una forma de caracterizar el conjunto de las soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales es dar una descripción de la variedad algebraica que define. Toda variedad algebraica puede descomponerse como una unión de variedades equidimensionales (es decir, variedades algebraicas cuyas componentes irreducibles tienen todas la misma dimensión). Surge entonces el problema de obtener algorítmicamente descripciones de estas variedades equidimensionales. Una variedad proyectiva equidimensional puede caracterizarse completamente por medio de un polinomio en varias variables, unívocamente determinado salvo por un factor Constante, llamado la forma de Chow de la variedad. Se presentará un algoritmo probabilístico (desarrollado en colaboración con T. Krick, J. Sabia y M. Sombra) que calcula la forma de Chow de cada una de las componentes equidimensionales de una variedad algebraica dada como el conjunto de los ceros comunes de una familia finita de polinomios con coeficientes racionales. El algoritmo se basa en un resultado que permite obtener la forma de Chow de una variedad equidimensional a partir de una descripción particular de una fibra de la variedad con respecto a un morfismo finito.La complejidad secuencial del algoritmo es polinomial en la longitud del input y produce un straight-line program de longitud del mismo orden para las formas de Chow que calcula. Más aún, bajo ciertas condiciones, la complejidad del algoritmo y la longitud del straight-line program que produce son polinomiales en la complejidad del input (es decir, la longitud de un straight-line program que evalúa los polinomios de entrada) y en el llamado grado geométrico del sistema, pudiendo resultar entonces de orden sensiblemente menor.
6. Krick, Teresa UBA krick@dm.uba.ar	On some features of the straight-line program representation of polynomials	This talk is inspired by the progression of results obtained by many mathematicians in the last years in Computational Algebraic Geometry, when applying the straight-line program phylosophy. I will introduce the straight-line program representation of polynomials as an alternative to the dense and sparse representations, and I will show how thinking "straight-line programs" can lead to surprising by-products. For instance, a non-classical invariant, the geometric degree of a system of polynomial equations, appears quite naturally to classify the complexity of polynomial systems. As another example, I will show how the optimal arithmetic bounds in the Hilbert Nullstellensatz for integer polynomials can be achieved by producing polynomial coefficients of a Bézout identity which behave well with respect to straight-line programs.
7. Peña, Carlos UCPBA ccpenia@exa.unicen.edu.ar	Sobre anillos de Hadamard. Aplicaciones.	El estudio de anillos de Hadamard está motivado por investigaciones recientes de S. Bhatt y K. Raina en materia de operadores fraccionarios. Se introducen tales anillos (topológicos - abelianos - unitarios), se determinan ideales de Jacobson, nilradicales y clases de ideales, se caracterízan inversibles, etc., pasando revista a algunas aplicaciones.
8. Sabia, Juan UBA jsabia@dm.uba.ar	Descompo- sición equi- dimensional efectiva de variedades algebraicas	Una variedad algebraica (es decir, el conjunto de ceros comunes de una familia de polinomios multivariados) puede ser descripta de distintas formas. Una de las formas que es más accesible desde el punto de vista algorítmico es la descomposición equidimensional: esto es, describir la variedad como unión de variedades equidimensionales. Se han diseñado diferentes algoritmos para obtener la descomposición equidimensional de una variedad a partir de los polinomios que la definen. En esta charla, se intentará contar los mecanismos que involucran algunos de los algoritmos de descomposición equidimensional conocidos, comparando la complejidad algebraica de cada uno y su efectividad. Para esto, se introducirán diversos tipos de codificación de polinomios multivariados (forma densa, straight-line programs), otras formas de descripción de variedades algebraicas (como una resolución geométrica) y distintos tipos de algoritmos (determinísticos uniformes, no uniformes o probabilísticos).
9. Villarreal, Rafael CINVESTAV, México vila@math.cinvestav.mx	Matrices unimodulares y normalidad de subanillos monomiales	We will discuss the normality of various monomial subrings associated to unimodular and totally unimodular matrices. Those monomials subrings include Rees algebras and homogeneous subrings. A comparison of Ehrhart rings with some other monomial subrings will be presented.

Algebra conmutativa y aplicaciones

Minicurso Prof. David Cox, Amherst College, USA - dac@cs.amherst.edu

Title : What is the Multiplicity of a Base Point?

Abstract: This expository talk will discuss the multiplicity of a base point. I will start with Bezout's Theorem and the formula for the degree of a parametrized surface in projective three space. The talk will then discuss the notions of multiplicity due to Serre and Hilbert/Samuel and will explain a combinatorial method for computing multiplicities. The talk will end with a discussion the algebraic approach, which uses reduction ideals, and explanation of how this leads to a proof of the degree formula.

Title: Equations of Parametrized Curves and Surfaces Via Syzygies

Abstract: This talk will discuss the problem of finding the equation of a parametrized curve in the plane or surface in 3-space. While this can be done by elimination theory or resultants, it was discovered recently that one can also use syzygyies to compute these equations. This indicates that the structure of free resolutions may have a role to play in computer-aided geometric design. This talk will describe joint work with Sederberg, Chen, Goldman and Zhang on basepoint-free parametrizations of curves and surfaces. I will end with a discussion of what happens when basepoints are present (this will include joint work with Schenck).